[AI Tech] 4주차 18차시 통계학 맛보기

18차시: AI Math - 2

18. 통계학 맛보기

1. 모수가 뭐예요?

통계적 모델링은 적절한 가정 위에서 확률분포를 추정(Inference)하는 것이 목표이며

기계학습과 통계학이 공통적으로 추구하는 목표다.

그러나 유한한 개수의 데이터만 관찰해서 모집단의 분포를 정확하게 알아낸다는 것은 불가능하므로,

근사적으로 확률분포를 추정할 수밖에 없다.

데이터가 특정 확률분포를 따른다고 선험적으로(a priori) 가정한 후 그 분포를 결정하는 모수(parameter)를 추정하는 방법을 모수적(parametric) 방법론이라 한다.

특정 확률분포를 가정하지 않고 데이터에 따라 모델의 구조 및 모수의 개수가 유연하게 바뀌면 비모수(nonparametric) 방법론이라 부른다.

 

2. 확률분포 가정하기: 예제

확률분포 가정하는 방법: 우선 히스토그램을 통해 모양을 관찰한다.

1) 데이터가 2개의 값() 만 가지는 경우 → 베르누이분포

2) 데이터가 n개의 이산적인 값을 가지는 경우 → 카테고리분포

3) 데이터가 [0,1] 사이에서 값을 가지는 경우 → 베타분포

4) 데이터가 0 이상의 값을 가지는 경우 → 감마분포, 로그정규분포 등

5) 데이터가 R 전체에서 값을 가지는 경우 → 정규분포, 라플라스분포 등

기계적으로 확률분포를 가정해서는 안 되며, 데이터를 생성하는 원리를 먼저 고려하는 것이 원칙이다.

 

3. 데이터로 모수를 추정해보자!

데이터의 확률분포를 가정했다면 모수를 추정해 볼 수 있다.

정규분포의 모수는 평균 \mu과 분산 \sigma^2으로 이를 추정하는 통계량(statistic)은 다음과 같다:

통계량의 확률분포를 표집분포(sampling distribution)라 부르며, 특히 표본평균의 표집분포는 N이 커질수록 정규분포 N(\mu, \sigma^2/N)을 따른다.

이를 중심극한정리(Central Limit Theorem)이라 부르며, 모집단의 분포가 정규분포를 따르지 않아도 성립한다.

 

4. 최대가능도 추정법

표본평균이나 표본분산은 중요한 통계량이지만 확률분포마다 사용하는 모수가 다르므로 적절한 통계량이 달라지게 된다.

이론적으로 가장 가능성이 높은 모수를 추정하는 방법 중 하나는 최대가능도추정법(Maximum likelihood estimation, MLE)이다.

데이터 집합 X가 독립적으로 추출되었을 경우 로그가능도를 최적화한다.

 

5. 왜 로그가능도를 사용하나요?

로그가능도를 최적화하는 모수 \theta는 가능도를 최적화하는 MLE가 된다.

데이터 숫자가 적으면 상관없지만 만일 데이터의 숫자가 수억 단위가 된다면 컴퓨터의 정확도로는 가능도를 계산하는 것은 불가능하다.

데이터가 독립일 경우, 로그를 사용하면 가능도의 곱셈을 로그가능도의 덧셈으로 바꿀 수 있기 때문에 컴퓨터로 연산이 가능해진다.

경사하강법으로 가능도를 최적화할 때 미분 연산을 사용하게 되는데, 로그가능도를 사용하면 연산량을 O(n^2)에서 O(n)으로 줄여준다.

대게의 손실함수의 경우 경사하강법을 사용하므로 음의 로그가능도(negative log-likelihood)를 최적화하게 된다.

 

6. 최대가능도 추정법 예제: 정규분포

정규분포를 따르는 확률변수 X로부터 독립적인 표본 { x1,... , xn }을 얻었을 때 최대가능도 추정법을 이용하여 모수를 추정하면?

MLE는 불편추정량을 보장하지 않는다.

 

7. 최대가능도 추정법 예제: 카테고리 분포

카테고리 분포 Multinoulli(x: p1,.., pd)를 따르는 확률변수 X로부터 독립적인 표본 {x1,..., xn}을 얻었을 때 최대가능도 추정법을 이용하여 모수를 추정하면?

카테고리 분포식

모수를 다 더했을 때 1이 되어야 한다.(제약식) → 최대가능도를 최적화해야 한다.

log를 취했을 때

라그랑주 승수법

미분을 취했을 때

pk와 모수

 

8. 딥러닝에서 최대가능도 추정법

1) 최대가능도 추정법을 이용해서 기계학습 모델을 학습할 수 있다.

2) 딥러닝 모델의 가중치를 \theata = (W(1),..., W(L))라 표기했을 때 분류 문제에서 소프트맥스 벡터는 카테고리분포의 모수(p1,..., pk)를 모델링한다

3) 원핫벡터로 표현한 정답레이블 y=(y1,..., yk)을 관찰데이터로 이용해 확률분포인 소프트맥스 벡터의 로그가능도를 최적화할 수 있다.

 

9. 확률분포의 거리를 구해보자

1) 기계학습에서 사용되는 손실함수들은 모델이 학습하는 확률분포와 데이터에서 관찰되는 확률분포의 거리를 통해 유도된다.

2) 데이터공간에 두 개의 확률분포 P(x), Q(x)가 있을 경우 두 확률분포 사이의 거리(distance)를 계산할 때 다음과 같은 함수들을 이용한다.

- 총 변동 거리 (Total Variation Distance, TV)

- 쿨백-라이블러 발산 (Kullback-Leibler Divergence, KL)

- 바슈타인 거리 (Wasserstein Distance)

쿨백-라이블러 발산

정의

분해

 

분류 문제에서 정답레이블을 P, 모델 예측을 Q라 두면 최대가능도 추정법은 쿨백-라이블러 발산을 최소화하는 것과 같다.

 

 

 

 

 

© NAVER Connect Foundation. All Rights Reserved